Welke variëteiten laten een Anosov diffeomorfisme toe?

Anosov diffeomorphismen vormen een belangrijke klasse binnen de dynamische systemen en worden al meer dan 50 jaar intensief bestudeerd. Naast hun dynamische eigenschappen wordt ook veel onderzoek gedaan naar de gesloten variëteiten die zulke diffeomorphismen toelaten. Men vermoedt dat deze gesloten variëteiten altijd homeomorf zijn met infra-nilvariëteiten, alhoewel niet elke infra-nilvariëteit een Anosov diffeomorfisme toelaat. Er zijn twee hoofddoelstellingen in dit onderzoeksproject waarin we gesloten variëteiten die een Anosov diffeomorfisme toelaten beter proberen te begrijpen. De eerste bestaat erin een nieuwe richting aan te geven in het bewijzen van het langdurig vermoeden die hierboven vermeld staat. Het idee is om het begrip Anosov diffeomorfisme te vertalen naar een Anosov automorfisme op de fundamentaalgroep van de gesloten variëteit. Dit is exact hoe men eerder een gerelateerd resultaat over expanderende afbeeldingen bewees. De tweede doelstelling is om een geïntegreerde studie te geven over Anosov diffeomorfismen op infra-nilvariëteiten. Tot op heden vinden de meeste methodes hun oorsprong in de studie van de laag-dimensionale variëteiten, wat het moeilijk maakt Anosov diffeomorfismen te bestuderen op een algemene manier. We hopen het bestaan van Anosov diffeomorfismen volledig te karakteriseren aan de hand van het bestaan van bepaalde graderingen die invariant zijn onder de holonomie representatie en de actie van de Galois groep.