Eerste stappen in mirror-symmetrie voor veralgemeende complexe meetkunde

Veralgemeende complexe (VC) meetkunde verenigt complexe en symplectische meetkunde, twee belangrijke onderzoeksgebieden in moderne zuivere wiskunde. Hoewel algemene VC-structuren niet goed begrepen zijn, zijn een aantal belangrijke resultaten van complexe of symplectische meetkunde al uitgebreid naar deze structuren. Verder zijn complexe en symplectische meetkunde verbonden via mirror-symmetrie, een veronderstelde dualiteit tussen bepaalde complexe en symplectische variëteiten. Deze dualiteit is in speciale gevallen bewezen. Hier stel ik een aanpak voor om homologische mirror-symmetrie uit te breiden tot bepaalde subklassen en voorbeelden van VCvariëteiten, gecentreerd rond 3 doelstellingen: (O1) Kwantificeer het effect van stabiele VC-compactificaties van Landau-Ginzburg-mirrors van del-Pezzo-oppervlakken op de Fukayacategorie. (O2) Construeer een Wrapped Fukayacategorie voor georiënteerde oppervlakken met log-symplectische structuren. (O3) Ontwikkel 'holomorfe families van Fukayacategorieën'. In het geval van (O1) en (O3) suggereert de constructie van een categorie van het Fukayatype onmiddellijk mirror-partners voor bepaalde klassen van voorbeelden, de eerste uitbreiding van mirrorsymmetrie naar de VC-context. In de constructie voor (O1) verwacht ik mijn resultaten te gebruiken op Lagrangiaanse deelvariëteiten met rand van stabiele VC-variëteiten, die in voorbeelden voorkomen en in aanmerking komen voor objecten van Fukaya-Seidelcategorieën van stabiele VC-variëteiten.