Algemene limietstellingen in de kanstheorie en wiskundige statistiek. (FWOKN216)

Inleiding. Ik ben van plan in twee richtingen te werken: (A) Generalisaties van limietstellingen uit de kanstheorie (B) Empirische processen Ik verwacht dat mijn werk in richting (A) (tenminste ten dele) in samenwerking met J. Kuelbs (Wisconsin) en Qi-man Shao (Hong Kong) zal doorgaan, terwijl ik een deel van het werk in richting (B) waarschijnlijk samen met D. Mason (Delaware) en/of J. Dony (VUB) ga doen. A. Generalisaties van limietstellingen uit de kanstheorie. Het eerste gedeelte van (A) is een voortzetting van mijn vorig FWO-project, namelijk de vraag naar generalisaties van de Hartman- Wintner wet van de ge_tereerde logaritme (=LIL). Dit klassieke resultaat zegt dat als fXng en rij onafhankelijke toevalsvariabelen met verwachtingswaarde 0 en variantie 1 is, dat dan voor de sommen Sn := Pi_n Xi bijna overal geldt, lim supn!1 jSnj=p2n log log n = 1: Het is natuurlijk voor de hand liggend te vragen of er analoge resultaten bestaan voor toevalsvariabelen waar het tweede moment oneindig is, dus de variantie niet bestaat. In samenwerking met Deli Li (Lakehead University, Canada) heb ik in 2004 een zeer algemeen resultaat kunnen bewijzen wat alle gekende resultaten van het LIL type voor variabelen met oneindige variantie impliceert, maar ook een nieuw resultaat - de zogenoemde \wet van een zeer langzaam varierende functie". We hebben eerst een algemene \formule" voor (1) _ = lim sup n!1 jSn=cnj <1 b.o. gevonden, waar cn een reguliere rij is. (We veronderstellen dat cn=pn monotoon niet-dalend is en er is een voorwaarde dat cn niet te groot wordt: we hebben nodig dat cn=cm = O(n=m) als n _ m.) We bekijken monotone functies h : [0;1[! [0;1[ zodanig dat h(f(t)t)=h(t) ! 1 als t ! 1; 0 < <1; waarbij f(t) = exp((log t)); t _ e: We noemen deze functies h \zeer langzaam varierend". Deze klasse functies bevat bv. elke macht van de ge_tereerde logaritme en van de logaritme. Met behulp van ons algemeen resultaat (waar we cn = pnh(n) stellen) hebben we dan nodige en voldoende voorwaarden kunnen vinden voor (2) lim sup n!1 jSnj=p2nh(n) = _ b.o. Dit resultaat nomen we de wet van een zeer langzaam varierende functie. De Hartman-Wintner LIL is maar een speciaal geval van dit resultaat en er zijn vele verdelingen met oneindige variantie waar we dit resultaat kunnen toepassen. In mijn vorige FWO-project heb ik o. a. de volgende twee problemen bekeken. Probleem 1 Is het mogelijk een functionale versie van het resultaat (1) te bewijzen? Probleem 2 Bestaat er een versie voor toevalsvariabelen met waarden in separabele Banachruimten? Het eerste probleem kon ik volledig oplossen. Het antwoord is als volgt: Veronderstel dat cn regulier is en dat er geldt: lim supn!1 jSnj=cn = _ 2]0;1[. Dan geldt voor de sommenprocessen S(n) : ! C[0; 1]: fS(n)=cn : n _ 1g is relatief compact in C[0; 1] en de verzameling van de limietpunten is gelijk aan _S; waar S de Strassen-klasse is, dwz alle absoluut continue functies f : [0; 1] ! R met f(0) = 0 en R1 0 (f0(u))2du _ 1: Daarmee is ook de Strassen LIL een speciaal geval van een algemeen functionale wet van een zeer langzaam varierende functie. De situatie in verband met het tweede probleem is meer ingewikkeld. Ik heb (samen met Deli Li) een volledige karakterisatie voor \LIL-gedrag" kunnen vinden, dwz we hebben nodige en voldoende voorwaarden voor lim sup n!1 kSnk=cn <1 bijna overal: 1 2 Een probleem wat nog open is het bepalen van de limietconstante. Dit is wel gelukt onder de extra-voorwaarde dat Sn=cn ! 0 in kans. Aan deze voorwaarde is automatisch voldaan als we toevalselementen bekijken met waarden in een Banachruimte van type 2. Ik herinner dat elke eindigdimensionale ruimte en ook separabele Hilbertruimten tot deze klasse behoren. Dus we hebben onder meer reeds de _nale versie van de wet van een zeer langzame varierende functie voor d-dimensionale toevalsevectoren, maar het probleem de exacte limietconstante te bepalen is nog open in algemene Banachruimten. In feite, men kent nog niet eens het antwoord voor de klassieke normalisatie p2n log log n: Dit beschouwt men als een van de hoofdproblemen uit de kanstheorie in Banachruimten wat nog niet opgelost is. (Zie \Probleem 5" in het boek van Ledoux en Talagrand.) We hebben wel voruitgang kunnen boeken (ook voor de klassieke normalisatie) omdat we een uitbreiding van een resultaat van de Acosta, Kuelbs en Ledoux (1983) hebben gevonden. Deze auteurs hebben getoond dat onder de voorwaarde E_kXk2_<1 bijna overal geldt: _ _ _ _ lim sup n!1 kSnk=p2n log log n _ _ + _; waar _2 = supfE_f(X)2_ : f 2 B_; kfk _ 1g en _ = lim supn!1 E[kSnk] =p2n log log n: We hebben et analoge resultaat voor algemene normalisaties cn, maar zonder de extra-voorwaarde E_kXk2_<1 die niet nodig is voor de wet van de ge_tereerde logaritme in oneindig-dimensionale Banachruimten. Dus zijn bovenstaande afschattingen voor de limietconstante altijd van toepassing wanneer de Ledoux- Talagrand LIL geldig is. Gezien deze resultaten, ben ik van plan de twee volgende problemen te bekijken, waarvan het eerste bijzonder moeilijk lijkt. Probleem A Bepaal de limietconstante in de wet van een zeer langzaam varierende functie. Hier zou het al heel interessant zijn, kon men een Banachruimte construeren waar, in het klassieke geval, de limietconstante echt tussen _ _ _ en _ + _ zit. In het algemene geval - niet-klassieke normalisatie - moet men _ vervangen door een bepaalde parameter _0 waarvoor we een formule hebben. Ik kan natuurlijk niet uitsluiten dat het antwoord in het algemene geval verschilt van dit in het geval van de klassieke normalisatie. Ik verwacht wel dat als men het probleem in de klassieke situatie kan oplossen, dat het dan ook algemeen zal lukken. Probleem B Vind een functionale versie van de wet van een zeer langzaam varierende functie in Banachruimten. Dit probleem lijkt iets minder moeilijk, maar het is absoluut niet evident wat de oplossing is. De reden is dat zodra men de wet van de zeer langzaam varierende functie in dimensie 2 bekijkt, de cluster sets van fSn=cng zeer ingewikkeld zijn. In feite men kan alleen tonen dat deze stervormig en symmetrisch t.o.v. 0 zijn. (Merk op dat dit in R gewoon symmetrische intervallen zijn.) Bovendien treden al deze verzamelingen als cluster sets op. Dus is de vraag of men hetzelfde resultaat heeft voor de functionale versie. In dit geval zijn de cluster sets gesloten delen van C2[0; 1] (=de continue functies f : [0; 1] ! R2) en men kan tonen dat deze ook stervormig en symmetrisch t.o.v. de nulfunctie moeten zijn. Maar we vermoeden dat niet elke deelverzameling van C2[0; 1] van deze gedaante een mogelijke cluster set is. Dus welke deelverzamelingen van C2[0; 1] kunnen cluster sets zijn? In dimensie 1 was het mogelijk dit probleem via sterke approximaties op te lossen en in de tussentijd zijn we erin geslaagd deze approximaties ook in hogere dimensies te verkrijgen. Het probleem is daardoor equivalent met een probleem voor toevalsvectoren met twee-dimensionale normaalverdelingen, Hoewel dit probleem in dimensie 2 veel moeilijker lijkt dan in R, hopen we toch dat we dit probleem uiteindelijk zullen kunnen oplossen. Als laatste probleem in dit gedeelte van het project vermelden we nog: 3 Probleem C Vind uniforme versies van limietstellingen voor \self-normalized" sommen onafhankelijke toevalsvariabelen. Dit gaan we waarschijnlijk gezamenlijk met Qi-man Shao doen. Het probleem is het volgende: er zijn vele limietstellingen gekend voor self-normalized sommen van de vorm Pn i=1 Xi qPn i=1 X2 i : We bekijken nu een klasse van functies F en de vraag is wat men uniform in f 2 F bewijzen kan. Dus we bekijken bijvorbeeld sup f2F Pn i=1 f(Xi) pPn i=1 f2(Xi) : We hebben al een \moderate deviation"-resultaat daarvoor gevonden, maar het zou ook interessant zijn andere limietstellingen daarvoor te bewijzen. Men kan dit ook als een supremum van een \selfnormalized" empirisch proces beschouwen en deze zijn uiteraard zeer nuttig in de niet-parametrische statistiek. B. Empirische processen. In mijn vorig FWO-project heb ik de theorie van de empirische processen gebruikt om onder meer de convergentiesnelheid van de Nadaraya-Watson schatter voor de regressiefunctie te bepalen. We hebben resultaten betre_ende de convergentiesnelheid uniform over compacte delen, maar ook puntsgewijs. in het laatste geval bleek het dat de snelheid van de convergentie even goed is voor toevalsvariabelen waar de moment-genererende functie eindig is als voor begrensde toevalsvariabelen. Dit was mogelijk door een ongelijkheid van Yurinskii te gebruiken die een generalisatie van de klassieke Bernsteinongelijkheid is. Jammer genoeg kunnen we deze niet toepassen om de convergentiesnelheid uniform over compacte verdelingen te bepalen, omdat de variantieterm in de ongelijkheid van Yurinskii niet optimaal is. (Het is opmerkelijk dat ondanks de \slechte" variantieterm men toch nog optimale resultaten voor de convergentiesnelheid puntsgewijs kan verkrijgen.) De ongelijkheid van Talagrand (1996) heeft de optimale variantieterm, maar onder de voorwaarde dat de toevalsvariabelen begrensd zijn. Probleem D. Vind een optimale versie van de Bernsteinongelijkheid voor empirische processen. Om dit op te lossen, zou het een mogelijkheid zijn dit via \truncation" op het begrensde geval terug te voeren. Op die manier heb ik (samen met Deli Li) een optimale oneindig-dimensionale versie van den Fuk-Nagaev-ongelijkheid kunnen vinden. Indien dit niet lukt, moeten we waarschijnlijk teruggaan naar het bewijs van Talagrand of proberen de methode van Ledoux te gebruiken. Dit probleem zal ik zeker grondig bekijken. Bovendien ben ik van plan het werk met J. Dony en D. Mason voort te zetten waar we convergentiesnelheden van kernschatters bepalen en waar de bandbreedte afhankelijk van de data en/ of de locatie gekozen is. Recentelijk hebben we analoge resultaten kunnen bewijzen voor een klasse van kernschatters waar een verband met de Hill-schatter voor de index van een Paretoverdeling bestaat. Andere mogelijke toepassingen die we willen bekijken, zijn \censored data" en natuurlijk zou het interessant zijn na te gaan of onze methodes ook nuttig kunnen zijn in het geval van afhankelijke observaties.

Trefwoorden:limietstellingen

Disciplines:Wiskunde en statistiek