< Terug naar vorige pagina

Project

Berkovich Skeletten en Wild Vertakte Krommen

In het wiskundig gebied van de aritmetische meetkunde worden problemen bestudeerd zoals het oplossen van vergelijkingen over de rationale getallen gebruikmakende van meetkundige methodes. Bijvoorbeeld, een vergelijking zoals x²+y²=1 definieert een kromme in het vlak, nl. een cirkel, en het vinden van rationale oplossingen zoals (x,y)=(3/5,4/5) is hetzelfde als het bepalen van speciale punten op deze cirkel, de zogenaamde rationale punten. Het bepalen van deze punten op een willekeurige kromme is een lastige opgave. Zo was bijvoorbeeld slechts in de jaren 90 bewezen door Wiles en Taylor dat alle rationale oplossingen van x^n+y^n=1 voor n groter dan 2 gegeven zijn door (1,0),(-1,0), (0,1) en (0,-1); beter bekend als Fermat's laatste stelling. Het bepalen van rationale punten op een kromme vergt een goed begrip van de eigenschappen van de kromme na reductie. Bijvoorbeeld, bekijk de kromme met vergelijking x²=3y²-1. Dan kunnen we inzien dat er geen oplossingen zijn door te reduceren modulo 3, i.e. delen met rest door 3. Voor een willekeurige kromme kan het begrijpen van de reducties modulo priemgetallen ons informatie geven over zaken zoals de locatie van de rationale punten. Dit project gaat over het bestuderen van krommen waarvoor de reductie zich relatief slecht gedraagt, het zogenaamde wild vertakte geval, waarbij nog veel vragen open blijven. Wij trachten enkele van deze vragen te beantwoorden met behulp van recente meetkundige technieken naar de hand van Berkovich.

Datum:1 okt 2020 →  Heden
Trefwoorden:Arithmetic Geometry, Number Theory, Algebraic Geometry, Nonarchimedean Geometry, Arithmetic Curves
Disciplines:Nummertheorie, Algebraïsche geometrie
Project type:PhD project