De meetkunde achter MRD codes

Het voorstel richt zich op de relatie tussen eindige geometrie en codeertheorie. Onze aandacht
gaat specifiek naar maximumrangafstandscodes of MRD-codes. Dit zijn een bepaald type
rangschikkingscodes, die een systematische manier beschrijven om codes te bouwen die kunnen worden gedetecteerd en gecorrigeerd
meerdere willekeurige rangfouten.
Het doel van dit onderzoek is om een ​​dieper begrip te krijgen van de geometrie achter MRD-codes, en
wat nog belangrijker is, om de verbindingen tussen hen verder te ontwikkelen. Hiervoor beschouwen we lineair
sets. Dit zijn specifieke sets van punten in een eindige projectieve ruimte en worden vaak gebruikt om
constructeer of karakteriseer voorbeelden van verschillende substructuren in eindige geometrie. De verbinding
tussen lineaire MRD-codes en lineaire sets is vrij nieuw en moet verder worden ontwikkeld. Deel
van het classificeren van bekende voorbeelden, richten we ons op het bouwen van nieuwe voorbeelden van MRD-codes en hun
gerelateerde lineaire sets.
Als een tweede doel, richten we ons op de constructie van niet-lineaire MRD-codes. Er zijn weinig generaals
constructies van niet-lineaire MRD-codes bekend, dus het verkrijgen van een nieuwe oneindige familie zou een zijn
grote stap voorwaarts. Hiervoor beschouwen we een andere geometrische link, namelijk de link tussen MRD
codes en externe sets voor een Segre-ras. Deze algebraïsche variëteit correspondeert met de Cartesiaans
product van twee projectieve ruimten en heeft verschillende verbindingen met veldreductie, subgeometrieën
en lineaire sets. We zullen ons concentreren op het construeren van niet-lineaire MRD-codes door puur geometrisch
argumenten.