Micro-macroversnelling en multischaal Monte-Carlomethoden voor kinetische vergelijkingen

Sinds de jaren 60, wordt er eens een uitspraak gedaan van de aard: "We zijn 20 jaar verwijderd van een werkende fusiereactor!" Het regelmatig onderschatten van de uitdagingen op weg naar een werkende reactor kan verklaard worden door de volgende tegenstelling tussen theorie en praktijk: Enerzijds, is de fysieke reactie simpel te omschrijven. Waterstof wordt opgewarmd tot het ioniseert, waarna de onderlinge botsingen van voldoende kracht zijn dat de atoomkernen samensmelten. Anderzijds, treden er verschillende onverklaarde fenomenen op in de praktijk. Deze fenomenen werken de stabiliteit van het plasma zodanig tegen dat ze niet lang genoeg in stand blijft om netto energie op te leveren. Een grote uitdaging in het ontwerp van tokamak fusiereactoren is de vorm van de divertor, een component die deeltjes uit de reactor verwijdert, eens deze uit de magnetisch begrensde plasmakern ontsnappen. Gegeven de hoge kost van het testen van ontwerpen, is het simulatiegebaseerd ontwerp de meest kosteneffectieve manier om zulke componenten te ontwerpen.

Wiskundig gezien, betreft het een optimaal ontwerpprobleem, begrenst door een system van partiële differentiaalvergelijkingen, die de reactorfysica modelleren. Het voornaamste component van deze fysica bestaat uit dat van het geïoniseerde plasma waarin de fusiereactie plaatsvindt. Er is echter, bijkomend, een significante populatie neutrale deeltjes aanwezig die interageren met de plasmadeeltjes. Hoewel het plasma vaak met een fluïdumbenadering kan gemodelleerd worden, vereisen de neutrale deeltjes meestal een model gebaseerd op kinetische vergelijkingen, gegeven hun relatief lage densiteit. Kinetische vergelijkingen modelleren de verdeling van deeltjes over een positie-snelheid faseruimte met twee keer zo veel dimensies als het aantal fysische dimensies van het probleem. De koppeling met het plasmamodel gebeurt echter aan de hand van brontermen met enkel ruimtelijke dimensies. Deze hoge dimensionaliteit is dus niet nodig voor het eindresultaat van de simulatie.

Monte-Carlosimulaties vermijden het gebruik van hoogdimensionale discretisaties door stochastische deeltjes te volgen doorheen de faseruimte. Elk deeltjesbaan komt overeen met een monster uit een verdeling, met als verwachte waarde een benadering van de geschatte bronterm. Men kan dus het gemiddelde nemen over veel deeltjesbanen om een schatting van de bronterm te bekomen. Ondanks het feit dat Monte-Carlosimulaties geen hoog dimensionale roosters vereisen, zijn ze nog steeds heel duur omwille van het feit dat ze zeer veel banen moeten simuleren om ruis op het bekomen resultaat te onderdrukken. Hoge botsingsfrequenties tussen de neutrale deeltjes en het plasma in de achtergrond verhogen bovendien de rekenkost van individuele banen. Gezien deze factoren, zijn deze Monte-Carlosimulaties de voornaamste bron van rekenkost in plasmarandssimulaties van tokmak fusie reactoren.

In deze thesis worden asympotisch-behoudende meerniveaus Monte-Carlomethoden geïntroduceerd om deze rekenkost te drukken. Deze methoden bekomen eerst een ruwe schatting met grote tijdstappen, dewelke een asymtotisch-behoudend schema gebruiken uit stabiliteitsoverwegingen. Dit schema gebruikt diffusieve stappen als vervanging voor meerdere gecumuleerde kinetische stappen. Veel banen kunnen gesimuleerd worden, dankzij de lage rekenkost. Deze initiële schatting heeft een lage rekenkost, maar een grote vertekening omwille van de benaderende aard van het gebruikte schema. Vervolgens worden gecorreleerde paren deeltjes gesimuleerd, één met dezelfde grote tijdstappen en één met fijnere tijdstappen en meer kinetisch gedrag. Het verschil in de bekomen resultaten geeft een benaderend monster voor de vertekening van de initiële schatting. Dankzij de correlatie, is de variantie van deze paren ook klein, waardoor er minder moeten gesimuleerd worden om en schatting met lager variante te bekomen. Door een hiërarchie van zulke schatters te beschouwen, bekomt men een meerniveaus Monte-Carlo schatter met de nauwkeurigheid van de fijnste banen, maar tegen een lagere rekenkost.

Na het bekomen van efficiënte simulaties, wil men een optimaal ontwerp vinden. Dit vereist het berekenen van de gradiënt van een doelfunctie die (deels) met Monte-Carlo wordt geëvalueerd. Deze gradiënt kan op nauwkeurige en efficiënte wijze worden bekomen met een methode gebaseerd op de toegevoegde van het oorspronkelijk model. Deze vergelijking vertaalt perturbaties op het residu naar perturbaties in de toestandsruimte van de plasma en neutrale deeltjes. In het geval van Monte-Carlo simulaties, simuleert deze methode dezelfde banen, als de initiële simulatie, maar achterwaarts in de tijd. Dit vergt een onredelijk geheugengebruik voor de meeste problemen. In de praktijk wordt daarom vaak gewerkt met momentopnames van de simulatie waaruit de relevante delen van de deeltjesbanen opnieuw berekend kunnen worden. Dit brengt een bijkomende rekenkost en complexiteit met zich mee. In deze thesis, introduceren we een nieuwe methode zonder zulke momentopnames waarin de banen volledig achterwaarts in de tijd kunnen bekomen worden. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van een omkeerbare generator voor pseudowillekeurige getallen.