Numerieke methoden voor de simulatie van een kinetisch multischaalmodel voor tumorgroei.

 In onze huidige maatschappij spelen multischaalfenomenen een prominente rol. In biologische contexten kunnen we bijvoorbeeld de beweging van cellen modelleren en meer in het bijzonder de evolutie van tumoren. Op een gelijkaardige manier kunnen we beweging van mensen modelleren, wat bijzonder nuttig is in het kader van evacuaties. Deze multischaalsystemen worden gekarakteriseerd door het feit dat er elementen zijn die snel evolueren en andere die traag evolueren. Dergelijke systemen over een lange tijd en nauwkeurig simuleren vergt veel rekenkracht. 

Multischaalsystemen kunnen op verschillende manieren gemodelleerd en gesimuleerd worden. Enerzijds kunnen we elk deeltje afzonderlijk modelleren (agent-gebaseerd model) wat we het microscopische niveau noemen. Dit wordt gekenmerkt door een hoge mate van detail, wat gepaard gaat met een hoge kost. Daarom wordt vaak de evolutie van de dichtheid bekeken in plaats van elk afzonderlijk deeltje, wat het macroscopisch (continuum) niveau genoemd wordt. Tot slot zijn er ook nog zogenaamde kinetische vergelijkingen die meer detail bevatten dan een continuum model, maar minder dan een agent-gebaseerd model.

Een eerste doel van de thesis bestaat erin om de simulatie van kinetische vergelijkingen te versnellen. Precies door het multischaalkarakter wordt het simuleren van een dergelijk systeem met klassieke technieken namelijk computationeel erg duur. Door het gebruik van projectieve integratie kan de kost gerelateerd aan de stijfheid omzeild worden. In deze thesis werd een hogere orde versie van de projectieve integratie methode ontwikkeld, wat voor een bijkomende efficiëntieverhoging zorgt, in vergelijking met de bestaande projectieve integratie methode.

Bovendien bevatten deze systemen vaak onzekere factoren, omdat het systeem niet volledig gekend is. Daarom kiezen we er in deze thesis voor om niet een specifieke realisatie te simuleren, maar wel de evolutie van de kansverdeling.

In deze thesis hebben we specifiek gekozen om algoritmes te ontwikkelen die de invloed van de onzekerheden (ruis) verminderen zonder een grote extra rekenkost. In het ontwikkelde model voor tumorgroei wordt de ruis hoofdzakelijk veroorzaakt door willekeurige bewegingen enerzijds en celdelingen anderzijds. In eerste instantie hebben we een algoritme ontwikkeld om de ruis veroorzaakt door bewegingen te filteren. Dit doen we met behulp van een benaderend proces (controleproces) dat de evolutie van bewegingen goed modelleert. Dit controleproces kan bovendien zonder ruis gesimuleerd worden. Het volledige model wordt dan enkel gebruikt om ook de invloed van de celdelingen mee te nemen.

In het algmeen geldt dat meer deeltjes aanleiding geven tot een nauwkeuriger resultaat. Echter, deze deeltjes permanent simuleren zou aanleiding geven tot een grote kost. In deze thesis hebben we er daarom voor gekozen om slechts lokaal extra deeltjes toe te voegen (klonen) en zo de overblijvende ruis verder te reduceren door lokaal deeltjes op te splitsen (of te klonen) zodat de locatie van de celdeling nauwkeuriger kan bepaald worden.