Projectieve integratie voor hyperbolische behoudswetten en meerschalige kinetische vergelijkingen

Zo goed als alle toepassingen in de wetenschap en techniek bezitten een meerschalige structuur, waarbij de processen die er deel van uitmaken, evolueren over verschillende tijd- of ruimteschalen. In de meeste gevallen echter is de ingenieur of wetenschapper enkel geïnteresseerd om informatie van het systeem te bekomen op macroscopische schaal. Dit indachtig is door de jaren heen heel wat werk verricht in het opstellen van fenomenologische macroscopische modellen die de beschrijving van het systeem beperken tot de voor de mens relevante schaal en hierbij volledig voorbij gaan aan de onderliggende microscopische wereld. Zulke macroscopische beschrijvingen worden veelal voorzien van een reeks constitutieve betrekkingen die tot doel hebben relevante microscopische mechanismen in rekening te brengen. Helaas zijn de veronderstellingen die deze constitutieve relaties of het macroscopisch model op zich onderbouwen in veel situaties niet goed gefundeerd, of is het zelfs volledig onmogelijk om een macroscopisch model af te leiden. In zulke gevallen is het bijgevolg nodig zich te beroepen op een volledige meerschalige weergave van het probleem, wat op zijn beurt efficiënte meerschalige simulatieroutines vereist.

Deze thesis behelst drie meerschalig getinte delen. Het eerste deel heeft betrekking op het ontwerp van een algemene oplossingsmethode voor stelsels hyperbolische behoudswetten. Hoewel dergelijke problemen intrinsiek niet meerschalig zijn, wordt het hyperbolische probleem vervangen door een artificieel tweeschalig kinetisch model dat eenvoudiger te behandelen is vanuit numeriek standpunt. Uiteraard wensen we dan dat het geïntroduceerde kinetische probleem dezelfde dynamica vertoont als het oorspronkelijke hyperbolische probleem, hetgeen gegarandeerd kan worden door een geschikte keuze van de evenwichtsverdeling van het kinetisch model. Om op een efficiënte manier om te gaan met het ingevoerde meerschalige karakter maken we gebruik van een projectieve integratiemethode. Deze voert eerst een aantal kleine tijdstapjes uit met een inner integrator, die het kinetisch model naar zijn evenwicht drijft, gevolgd door een extrapolatie voorwaarts in de tijd met een outer integrator over een veel grotere tijdstap. De flexibiliteit, algemeenheid en hoge orde van nauwkeurigheid in de tijd worden geïllustreerd aan de hand van verscheidene standaard testproblemen.

In het tweede deel stappen we over van artificiële kinetische vergelijkingen naar kinetische modellen die werkelijke deeltjessystemen beschrijven. De twee modellen die we beschouwen zijn de BGK vergelijking, die we zowel bekijken in een twee- als meerschalige context, en de Boltzmann vergelijking, dewelke inherent meerschalig is. Dergelijke meerschalige problemen vereisen het gebruik van een telescopische projectieve integratiemethode, die gezien kan worden als de uitbreiding van projectieve integratie. De telescopische methode voorziet een hiërarchie aan projectieve niveaus, waarbij op elk niveau een aantal tijdstappen met een inner integrator genomen wordt, gevolgd door een (outer) extrapolatiestap. De methode wordt toegepast op een aantal toepassingen in één en twee dimensies.

In het derde deel slaan we het roer om en richten we onze aandacht op tweeschalige stochastische systemen die de evolutie van een trage en snelle grootheid modelleren. Onder de veronderstelling van ergodiciteit van de snelle vergelijking en voor een voldoende grote scheiding tussen de trage en snelle tijdschaal, is geweten dat een gereduceerde beschrijving van het systeem bestaat die enkel gegeven is in termen van de trage veranderlijke. In die beschrijving wordt de tijdsafgeleide berekend door uitmiddeling van de oorspronkelijke trage vergelijking over de invariante maat geproduceerd door de snelle dynamica. In het algemeen echter kan noch de invariante maat noch de uitmiddeling analytisch berekend worden. Daartoe maken we gebruik van de heterogene meerschalige methode (HMM), die voorwaartse Euler tijdstappen van de gereduceerde vergelijking combineert met een procedure om de onbekende tijdsafgeleide te schatten. Helaas kan de onzekerheid van de HMM schatter, die niets anders is dan een Markov ketting Monte Carlo methode, groot zijn. Om die reden stellen we een nieuwe variantie gereduceerde HMM schatter voor gebaseerd op controlevariabelen, waarbij gewone HMM schatters op opeenvolgende macroscopische tijdstappen gecorreleerd worden met elkaar. De voorgestelde schatter wordt vervolgens toegepast op een lineair en niet-lineair modelprobleem.