Structuur van de eenhedengroep van groepsringen en twisted groepsringen (FWOTM880)

Zij Z de ring van gehele getallen en zij G een eindige multiplicatieve groep. Bekijk G als een basis van een vectorruimte over Z - dat definieert de gehele groepsring ZG, dwz. elk element in ZG is een lineaire combinatie van elementen van G met coëfficiënten in Z. Zoals in een vectorruimte kan men de optelling van elementen coefficeintsgewijz definiëren. Bv. als g, h elementen zijn van G, dan is (3g - 2h) + (-4g+4h) = -g + 2h. Nu geeft de groepsstructuur van G ook aanleiding tot een vermenigvuldiging * in ZG door te veronderstellen dat elk geheel getal met elk element van G commuteerd. Veronderstel bv. dat g en h elementen van G zijn die commuteren, dwz. gh = hg, dan (3g - 2h)*(-4g+4h) = -12g^2 + 12gh + 8hg - 8h^2 = -12g^2 + 20gh - 8h^2.
Omdat G een neutraal element e bevat en de gehele getallen het neutraal element 1 bevatten, hebben wij een neutraal element voor de vermenigvuldiging in ZG, namelijk 1*e.

Het onderwerp van dit project is de groep van eenheden van ZG, dwz.
de elementen u van ZG zodat er een element v in ZG bestaat zodat uv = 1 = vu. Meer precies, we onderzoeken het verband tussen de structuur van de groep van eenheden en de groeps-basis G en hoeveel van de groeps-theoretische eigenschappen van G in de groep van eenheden terug te vinden zijn. Een centrale vraag is de vermoede van H.J. Zassenhaus uit de jaren 1970, die stelt dat de eenheden van eindige orde in principe gegeven zijn door de elementen in G en in -G.

Trefwoorden:group rings, structure

Disciplines:Algemene wiskunde