Tensorgebaseerde onafhankelijke componenten analyse: van ogenblikkelijke naar convolutieve mengsels

Data is overal, maar is alleen nuttig als er informatie kan worden uitgehaald. Om dit te bereiken zijn data-analysetechnieken ontwikkeld die onderliggende kenmerken in data proberen te vinden. Eén type van data-analysetechnieken maakt gebruik van tensorontbindingen. Tensoren zijn meerdimensionale veralgemeningen van vectoren en matrices en laten toe om meerdimensionale data op een natuurlijke manier weer te geven. Eén van de belangrijkste voordelen van tensoren is dat hun ontbindingen uniek zijn onder milde voorwaarden. Bij tensorontbindingen hoeven er immers geen extra beperkingen opgelegd te worden om unieke ontbindingenen te verkrijgen, in tegenstelling tot matrixontbindingen. Deze eigenschap opent vele interessante toepassingen van tensorontbindingen, in het bijzonder met betrekking tot blinde bronscheiding en onafhankelijke componentenanalyse.

Onafhankelijke componentenanalyse (OCA) probeert de statistisch onafhankelijke signalen uit een mengsel terug te vinden, wat nuttig is in domeinen zoals telecommunicatie, spraakscheiding en biomedische data-analyse. Deze mengsels worden vaak gemodelleerd als ogenblikkelijke mengsels van bronsignalen en tensorgebaseerde algoritmes die dergelijke mengsels blind kunnen scheiden zijn bekend. In veel toepassingen is een convolutief mengmodel echter geschikter om ook eventuele vertragingen en reflecties van de bronsignalen in rekening te brengen. Dit is bijvoorbeeld het geval voor spraaksignalen in een ruimte of telecommunicatiesignalen die op antennes invallen. Bij dergelijke convolutieve mengsels ontstaat er extra structuur in het scheidingsprobleem. De huidige tensorgebaseerde methoden in de literatuur maken niet volledig gebruik van deze Toeplitz- of Hankelstructuur. Deze thesis presenteert nieuwe methoden gebaseerd op deelruimtes die meer rekening houden met deze structuur, wat leidt tot efficiëntere en nauwkeurigere resultaten dan de huidige state-of-the-art tensormethoden. Daarnaast worden er mildere uniciteitsvoorwaarden geformuleerd die eveneens de beschikbare structuur benutten. Deze thesis presenteert daarnaast ook een methode voor een gerelateerde gestructureerde tensorontbinding waarbij alle factormatrices een blok-circulante structuur hebben.

Naast het uitbuiten van de structuur die voorkomt in convolutieve ICA, presenteert deze dissertatie ook hoe gekende technieken in ogenblikkelijke OCA kunnen worden geporteerd naar het convolutieve geval. Dit omvat gekoppelde tensorontbindingen om tweede- en vierdeordestatistieken te combineren, en het gebruik van onvolledige tensoren om de rekencomplexiteit te verminderen.

Een andere interessante vraag die geen verband houdt met convolutieve OCA is of onderliggende tensorfactoren kunnen vergeleken worden zonder hun volledige ontbindingen te moeten berekenen. Dit is zeer relevant voor elk tensorclassificatieprobleem, maar heeft tot dusver slechts beperkte aandacht gekregen in de onderzoekswereld. In deze thesis presenteren we fundamentele stellingen en algoritmen die laten zien hoe tensorfactoren in twee dimensies kunnen worden vergeleken voor verschillende onderliggende tensordecomposities. Een van deze methoden wordt vervolgens gebruikt om een algoritme te ontwikkelen dat in staat is om clustercentra van twee verschillende datasets te vergelijken zonder de eigenlijke clusters te hoeven berekenen.