Valuation and hedging in a world of financial and actuarial risks.

Inleiding

De laatste jaren is de verzekeringswereld voortdurend onderhevig geweest aan verandering en werd ze met tal van nieuwe uitdagingen geconfronteerd. Nieuwe risico’s zoals klimaatverandering – of ook gewoon de verandering van bestaande risico’s – hebben verzekeraars ertoe aangezet nieuwe verzekeringsproducten in de markt te introduceren of bestaande producten aan te passen. Sommige van deze producten brengen niet alleen een verzekeringsrisico maar tevens ook een financieel risico met zich mee. Voorbeelden van dergelijke ‘gecombineerde’ producten zijn levensverzekeringsproducten met belegging, langlevenobligaties en catastrofeobligaties. Onderzoekstopics waar momenteel veel aandacht aan besteed wordt, handelen dan ook over het prijzen van dergelijke producten. Tevens het risicomanagement van deze producten binnen het bedrijf wordt steeds meer belangrijk. Een gevolg van dit fenomeen is dat de twee domeinen van finance en insurance steeds vaker gecombineerd wordenomuiteindelijk tot dezelfde basisprincipes en methodes te komen. Met het oog op de waardering van gecombineerde producten, wordt er in de literatuur veelal gesproken van 2 types van risico, namelijk financieel risico en actuarieel risico. Hierbij wordt er vaak aangenomen dat deze types onafhankelijk van elkaar zijn in de reëlewereld. Dit zou bijvoorbeeld betekenen dat de evolutie van een aandeel in de markt onafhankelijk is van de overlevings- of sterftekansen van een populatie. Zonder motivering wordt deze assumptie verder geprojecteerd naar de prijswereld. De voornaamste reden hiervoor is dat deze assumptie het prijzen van gecombineerde producten vergemakkelijkt door het financieel en actuarieel risico apart te waarderen. In deze thesis gaan we dieper in op de precieze betekenis van deze assumptie en gaan we aan de hand van voorbeelden na of we deze assumptie wel altijd mogen maken om te prijzen.

De reële wereld en de prijswereld

In de vorige paragraaf behandelden we een bepaalde assumptie van onafhankelijkheid in 2 verschillende werelden, namelijk de echte of reële wereld en de prijswereld. Uitdrukkingen met betrekking tot kansen over de toekomstige evolutie van aandelenmarkten worden uitgedrukt in de reële kansmaat. We denken hierbij bijvoorbeeld aan de kans dat een aandeel in waarde verdubbelt tijdens een bepaalde periode. Aandelenprijzen daarentegen worden uitgedrukt in termen van een equivalente martingaalmaat of risiconeutrale prijsmaat. Beide maten zijn vanuit een filosofisch standpunt zeer verschillend, maar ze hebben ook bepaalde gemeenschappelijke eigenschappen. Comonotoniciteit is één van deze begrippen,wat bijvoorbeeld betekent dat bepaalde aandelenprijzen in dezelfde richting bewegen. Als 2 aandelen in dezelfde richting bewegen in de reële wereld, dan zullen zij ook comonotoon bewegen in de prijswereld.

Buiten deze bepaalde comonotone structuur, gaan afhankelijkheidsstructuren in het algemeen niet identiek zijn in beide werelden. Een voorbeeld hiervan is het geval waarbij financieel en actuarieel risico onafhankelijk van elkaar zijn in de echte wereld. Deze veronderstelling leidt niet automatisch tot onafhankelijkheid van beide risico’s in de prijswereld en kan dus niet zomaar gebruikt worden voor het prijzen van gecombineerde producten.

Door het speciale karakter van actuarieel risico, kan een gecombineerd financieel-actuarieel product nooit perfect gedekt worden door financiële producten. Hierdoor kunnen we zeggen dat de financiële markt incompleet is. Concreet wil dit zeggen dat niet alle producten een unieke prijs hebben. In plaats van één prijs hebben we enkel een verzameling van mogelijke prijzen. De vraag die hierbij onmiddellijk kan gesteld worden is welke prijs we dan uiteindelijk moeten kiezen. Volgens welke prijsmaat moeten we de producten in de markt prijzen? In de literatuur zijn reeds verschillende antwoorden op deze vraag gegeven. In deze thesis gaan we op zoek naar de prijsmaat die zo dicht mogelijk bij de reële kansmaat ligt volgens een bepaald criterium. We kiezen hierbij voor de relatieve entropie, een fysisch begrip dat een soort van afstand berekent tussen bepaalde kansmaten. Dergelijke prijsmaat werd reeds berekend in een wereld met enkel financiële producten. Wij breiden in deze thesis dit concept uit naar een wereld die zowel financiële als actuariële risico’s kan omvatten.

Het multivariaat Variance Gamma model

Naast de ontwikkeling van producten die zowel financiële risico’s als actuariële risico’s met zich meebrengen, heeft de groei in de financiële markt er tevens voor gezorgd dat er meer en meer interesse is in producten waarvan de waarde afhangt van meerdere aandelen. Een voorbeeld hiervan is een index optie, een optie waarbij de onderliggende een portfolio is van individuele aandelen. Bij het prijzen van dergelijke producten, is het belangrijk om te weten hoe bepaalde aandelen met elkaar in contact staan wat resulteert in een gezamenlijke dynamiek van aandelenprijzen. Wanneer de markt denkt dat de individuele aandelen sterk zullen samen bewegen, betekent dit dat de aandelenprijzen de neiging hebben om tegelijkertijd te stijgen, of juist tegelijkertijd te dalen. Bijgevolg zal de index optieprijs duurder worden wanneer de afhankelijkheid tussen de aandelen toeneemt. In het algemene geval zijn deze afhankelijkheden echter niet gekend, waardoor optieprijzen steeds gebaseerd zijn op benaderingen of numerieke methodes. De ideale formule om index opties te prijzen bestaat niet, maar men kan wel op zoek gaan naar een model dat de prijs voldoende benadert. Aan de ene kant moet het model voldoende complex zijn om de onderliggende karakteristieken van de optieprijzen te omvatten. Maar aan de andere kant moet het model ook hanteerbaar blijven en moeten de parameters representatief zijn. In deze thesis gaan we op zoek naar een prijsformule voor index opties waarbij de aandelenprijzen gemodelleerd worden door een multivariaat Variance Gamma model. Concreet betekent dit dat de individuele aandelenprijzen gemodelleerd worden door een Variance Gamma proces, maar waarbij ze afhankelijk zijn van elkaar door middel van een gemeenschappelijke factor. Aan de hand van bepaalde numerieke methodes, kunnen we dit multivariaat model op een snelle manier kalibreren. Als voorbeeld tonen we aan dat, onder bepaalde voorwaarden, het model in staat is om geobserveerde index optieprijzen zeer goed te benaderen.