Titel Promotor Affiliaties "Korte inhoud" "Classificatie, symmetrieën en singulariteiten op de grenzen van algebra, analyse en meetkunde." "Stefaan Vaes" "Wiskunde, Campus Kulak Kortrijk, Algebra, Analyse, Meetkunde" "Het hoofddoel van dit Methusalemproject is het samenbrengen van de belangrijkste onderzoekers in zuivere wiskunde aan de KU Leuven met als focus enkele van de meest uitdagende problemen in algebra, analyse en meetkunde, en hun talrijke interacties. De belangrijkste onderzoeksthemas zijn algebraïsche meetkunde (theorie van singulariteiten, monodromieconjectuur, motivische integratie), klassieke analyse (verdeling van eigenwaarden van random matrices, fenomenen van universaliteit), differentiaalmeetkunde (singuliere foliaties, symplectische meetkunde), functionaalanalyse (von Neumannalgebras, deelfactoren, meetbare groepentheorie), en groepentheorie (infra-nilvariëteiten, nilpotente groepen)." "Hogerdimensionale expanders en Kac-Moody-Steinberg groepen" "Tom De Medts" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde, Université Catholique de Louvain" "Expandergrafen zijn grafen die een hoge connectiviteit hebben maar tegelijk niet te veel bogen hebben, waardoor ze nuttig zijn om computernetwerken te construeren die tegelijk betrouwbaar en kost-effectief zijn. Een enorm onderzoeksdomein is hieruit ontstaan, in zowel wiskunde als computerwetenschappen. Recent heeft zich een theorie ontwikkeld van simpliciale complexen van dimensie groter dan één, met gelijkaardige eigenschappen als expandergrafen. De gekende voorbeelden hiervan zijn echter erg beperkt, en alle nauw verwant aan algebraïsche of klassieke groepen. Het doel van dit project is om een nieuw framework te ontwikkelen om een overvloed aan nieuwe voorbeelden te vinden van zulke hoog-dimensionale expanders. Dit framework is gebaseerd op een niet-klassieke familie van groepen, zogenaamde Kac-Moody-Steinberg (KMS) groepen. Door de combinatorische, meetkundige, Lie-algebraïsche en cohomologische eigenschappen te ontrafelen van KMS groepen en hun geassocieerde meetkundige ruimten, zullen we eveneens bijdragen tot verscheidene problemen in meetkundige groepentheorie, betreffende residuele eigenschappen van hyperbolische groepen, roosteromhullingen, cohomologische annihilatie in hogere dimensie, en stabiliteit van groepen." "Lineaire Descent in Sferische Tits-Gebouwen met Toepassingen op Groepen van Rang 1, Densiteitsstellingen in Chevalley Groepen, en Eindige Meetkunde." "Hendrik Van Maldeghem" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde" "In de wiskunde is de automorfisme groep van een object een maat voor de hoeveelheid symmetrie van dat object. Soms is een efficiënte manier om een object te bestuderen zijn automorfismegroep bestuderen. Groepentheorie is een belangrijke tak geworden van de wiskunde. Omgekeerd is een efficiënte manier om een groep te bestuderen een geschikt object te bestuderen waarop die groep werkt. Groepen van Lie type zijn belangrijke groepen in de wiskunde, en Jacque Tits produceerde abstracte meetkundes waarop die groepen op een natuurlijke manier werken (waarvoor hij de Abel Prijs in ontvangst mocht nemen). Deze meetkundes worden gebouwen genoemd. Mijn project bestudeert deze gebouwen door een theorie op te zetten voor de situaties waarin het ene gebouw bevat is in het andere op zulkdanige manier dat er een automorfismegroep is van het tweede gebouw dat elk element van het eerste gebouw vastlaat. Op die manier zien we nieuwe eigenschappen van minder toegankelijke gebouwen door eigenschappen toe te passen van meer toegankelijke gebouwen. Ik bestudeer de verbanden tussen het gedrag van de symmetrieën die het deelgebouw elementsgewijs vastlaat en dat deelgebouw zelf. Dit heeft toepassingen in eindige meetkunde en groepentheorie. Dat laatste illustreert perfect het nuttig gebruik van gebouwen en ook de originele motivatie om deze in te voeren en ermee te werken." "Vertex-operatoralgebra's en axiale decompositie-algebra's" "Tom De Medts" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde" "De theorie van vertex-operatoralgebra's (VOA's) is diep geworteld in wiskunde en natuurkunde. Aan de wiskundige kant is een van de belangrijkste prestaties de verklaring van de beroemde ""monstrous moonshine"", die een verband legt tussen getaltheorie en de grootste sporadische eenvoudige groep, het Fischer-Griess Monster.De structuur van de algebra's die voortkomen uit VOA's ""van Griess type"" is geaxiomatiseerd, eerst tot Majorana-algebra's (2009, Ivanov), nadien tot axiale algebra's (2015, Hall-Rehren-Shpectorov) en zeer recentelijk tot decompositie-algebra's (2021, De Medts-Peacock-Shpectorov-Van Couwenberghe) en focust zich op zogenaamde fusiewetten. Deze theorie werpt nieuw licht op de representatietheorie van eindige groepen en algebraïsche groepen.Tot nu toe hebben de theorie van VOA's en de theorie van axiale en decompositie-algebra's elkaar echter niet zoveel beïnvloed. Het doel van dit onderzoeksvoorstel is precies om een interactie tussen deze theorieën op gang te brengen." "De structuur van grafiekproduct-operatoralgebra's" "Stefaan Vaes" Analyse "Als deel van de baanbrekende theorie van vrije kansrekening van Voiculescu komen vrije producten overal voor in de theorie van operatorenalgebra's. Ze kunnen beschouwd worden als een natuurlijk operatoralgebraïsch analogon voor vrije producten van groepen en beide constructies zijn compatibel. In de context van groepentheorie kunnen vrije producten veralgemeend worden tot graafproducten, ingevoerd door Green. Dit leidde Caspers en Fima tot een definitie van graafproducten van operatorenalgebra's. Hun constructie associeert aan elke simpliciale graaf waarvan de knopen versierd zijn met C*-algebra's (of von Neumannalgebra's) een nieuwe C*-algebra (of von Neumannalgebra) waarin de operatorenalgebra's van de knopen op canonieke wijze ingebed zijn en waarbij de commutatierelaties gegeven worden door de onderliggende graaf. Deze constructie veralgemeent zowel de vrije producten van Voiculescu als tensorproducten, omvat interessante voorbeelden (zoals rechthoekige Hecke-operatorenalgebra's) en voldoet aan de gewenste stabiliteitseigenschappen. Vrije producten van operatorenalgebra's worden intens bestudeerd sinds de late jaren 1980. Er is veel minder geweten over graafproducten van operatorenalgebra's. Dit onderzoeksproject heeft als doel onze kennis over graafproducten van operatorenalgebra's te verruimen, met bijzondere nadruk op de structuur van idealen, het bewaren van benaderingseigenschappen en de structuur van rechthoekige Hecke-operatorenalgebra's." "Vragen over singulariteiten van convoluties van veeltermafbeelding" "Wim Veys" Algebra "We stellen voor om verschillende vragen te bestuderen over het gedrag van singulariteiten van veeltermafbeelding onder een algebraïsche convolutieoperatie.Gegeven een veeltermafbeelding f naar een algebraïsche groep, beschouwen we een convolutiebewerking die een nieuwe veeltermafbeelding f*f naar dezelfde groep produceert. Net als bij de gebruikelijke convolutiebewerking bij analyse, hebben de uitkomsten f*f van de algebraïsche convolutiebewerking verbeterde singulariteitseigenschappen. In dit project bestuderen we dit fenomeen en zijn verbanden met en gevolgen voor algebraïsche meetkunde, groepentheorie, getaltheorie en analyse." "p-lokale eigenschappen van Skew Braces en oplossingen voor de Yang-Baxter-vergelijking" "Leandro Vendramin" Wiskunde "De Yang-Baxter-vergelijking (YBE) is een belangrijk probleem, zowel in de natuurkunde als in de wiskunde, waarvan de oplossingen nog niet zijn geclassificeerd. Het belangrijkste doel van dit project is om meer inzicht te geven in de eigenschappen van sommige groepen die zijn opgebouwd uit bepaalde oplossingen voor YBE. Gegeven een oplossing, beschouwen we de structuurgroep geïntroduceerd door Etingof, Schedler en Soloviev, die wordt gedefinieerd in termen van een passende groepspresentatie afgeleid van een vaste oplossing naar YBE. Deze groep heeft, naast vele interessante eigenschappen, de structuur van een schuine accolade die, ruwweg, een verzameling is met twee groepsstructuren en een compatibiliteitsregel daartussen. We stellen voor om p-lokale eigenschappen van scheve accolades te bestuderen via p-subgroepcomplexen en fusiesystemen. Dit stelt ons in staat om niet alleen puur algebraïsche technieken toe te passen, maar ook geometrische combinatorische methoden om gevolgen te verkrijgen voor de structuur van scheve braes (en dus oplossingen voor YBE). We zullen ook proberen het verband te begrijpen tussen de eenvoudige compositiefactoren die voorkomen in de twee groepen die een schuine accolade definiëren, in relatie tot het vermoeden van Byott over oplosbare scheve accolades. Ten slotte zullen we, voor niet noodzakelijk finiteskew-accolades, ons concentreren op problemen vanuit het gezichtspunt van de combinatorische groepentheorie, zoals de relatie tussen UP en diffuse." "Exceptionele groepen en Moufang sets van polair type." "Hendrik Van Maldeghem" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde" "Moufang sets vinden hun oorsprong in de theorie van semi-simpele algebraïsche groepen van relatieve rang 1 (algebraïsche groepen zijn matrixgroepen en één van de meest fundamentele algebraïsche structuren). Een Moufang set is een 2-transitieve permutatiegroep, onderhevig aan enkele natuurlijke voorwaarden. De theorie heeft vele toepassingen, zowel binnen als buiten groepentheorie. Het belangrijkste probleem is het vermoeden dat elke Moufang set of scherp 2- transitief is, of gerelateerd is aan een semi-simpele algebraïsche groep van relatieve rang 1 of een lichte variatie hiervan. We willen bijdragen tot de oplossing door Moufang sets van polair type, de moeilijkste klasse, te beschouwen. Door de notie van een Moufang set op een natuurlijke wijze uit te breiden naar die van een Tits set, kunnen we niet enkel gebruik maken van groepentheoretische, maar ook van meetkundige methoden. Deze geven ons toegang tot de rijke theorie van parapolaire ruimten (meetkundige structuren horende bij semi-simpele algebraïsche groepen van hogere rang). Aan de groepentheoretische kant willen we Timmesfeld’s theorie van abstracte wortelgroepen gebruiken, een theorie die zijn volledige potentieel nog niet heeft bereikt. Op deze manier hopen we de Tits sets van polair type te klasseren. Op zichzelf is dit al een belangrijk resultaat, echter, het opent ook de weg naar nieuwe technieken en inzichten voor de klassering van Moufang sets, in het bijzonder die van polair type." "Lokaal compacte groepen met acties op discrete meetkundige structuren" "Tom De Medts" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde" "De structuur van lokaal compacte groepen (hoewel alomtegenwoordig in de wiskunde) is vandaag over het algemeen nog verre van goed begrepen. Ons doel is om de theorie van totaal discontinue lokaal compacte groepen verder te ontwikkelen via acties op geschikte discreet-meetkundige structuren zoals lokaal eindige bomen en rechthoekige gebouwen, die een rijke klasse aan voorbeelden leveren." "Moufang verzamelingen" "Tom De Medts" "Vakgroep Wiskunde: Algebra en Meetkunde" "Verder ontwikkelen van de theorie van de Moufang verzamelingen, dit is een welbepaalde klasse van tweevoudig transitieve groepen, ingevoerd door Jacques Tits. Enerzijds de studie van de speciale Moufang verzamelingen en het zoeken naar alternatieve voorwaarden. Anderzijds het bestuderen van de gekende voorbeelden van Moufang verzamelingen, afkomstig van lineaire algebraïsche groepen, gebruik makend van meetkundige en algebraïsche technieken."