PhD positions in Pure Mathematics

Niet-Hermitaanse lineaire operatoren beschrijven een groot aantal systemen, zoals open verstrooiingssystemen in de natuurkunde of de signaaloverdracht in draadloze telecommunicatie. Dergelijke operatoren kunnen worden gekenmerkt door hun eigenwaarden of hun singuliere waarden. Het al lang bestaande probleem van hun relatie zal worden aangepakt voor een specifieke klasse van willekeurige matrices met als doel universele correlaties tussen deze twee reeksen grootheden aan het licht te brengen. We streven naar de berekening van de gezamenlijke niveaudichtheden van de eigenwaarden en singuliere waarden op eindige matrixdimensie. Een bekende relatie, de stelling van Haagerup-Larson genaamd, voor oneindig-dimensionale matrices zal opnieuw worden afgeleid en de correcties ervan voor eindige matrixafmetingen zullen worden gekwantificeerd. Verder zullen in dit kader ook twee eenvoudige vervormingen van de kansdichtheid van de willekeurige matrix worden onderzocht. De eerste vervorming introduceert gaten in het complexe spectrum en maakt contact met het Leuvense project. De tweede soort vervorming knijpt het oorspronkelijk isotrope spectrum tot een langwerpige vorm. Beide soorten vervormingen worden aangetroffen in theoretische toepassingen van kwantumvelden. Het uiteindelijke doel van dit project is het vinden van nieuwe universele correlaties tussen eigenwaarden en singuliere waarden. De student leert technieken uit de harmonische analyse op matrixruimten, bi-orthogonale functies en asymptotische analyse. Het project zal worden aangevuld met het KU Leuven-project en de samenwerking zal zorgen voor een succesvolle afronding van het project.